勉強を進めていて,関数列の積分と極限操作の交換がどのような場合に成り立つか,についてモヤモヤしてしまったので,リーマン-スティルチェス積分(あるいはリーマン積分)の場合にどうなるか調べることにしました.

よく知られていることと思いますが,結論は「被積分関数の関数列が一様収束するならばリーマン-スティルチェス積分(リーマン積分)と極限操作が交換可能である」です.以下ではこの事実に関する定理と証明を紹介したいと思います.


Rudin(1976)から引用します.{displaystyle f in mathscr{R}(alpha) } は(過去記事Definition6.2より) {displaystyle f } がリーマン-スティルチェス可積分であることを意味します. 

7.16 Theorem   Let {displaystyle alpha } be monotonically increasing on {displaystyle [ a,b ] }. Suppose {displaystyle f_n in mathscr{R}(alpha) } on {displaystyle [ a,b ] }, for {displaystyle n=1,2,3,ldots }, and suppose {displaystyle f_n 	o f } uniformly on {displaystyle [ a,b ] }. Then {displaystyle f in mathscr{R}(alpha) } on {displaystyle [ a,b ] }, and

(23)              {displaystyle int_a^b f  d alpha = lim_{n 	o infty} int_a^b f_n  d alpha }.

(The existence of the limit is part of the conclusion.)

一様収束するならば各点収束するので,過去記事Definition7.1の記法(1)を用いれば,(23)は以下のように書くこともできます.

    (23)              {displaystyle int_a^b lim_{n 	o infty} f_n  d alpha = lim_{n 	o infty} int_a^b f_n  d alpha }


この定理は,ルベーグ-スティルチェス可積分な関数列の一様収束極限はまたルベーグ-スティルチェス可積分であることと,そのとき積分と極限操作が交換可能であることを主張しています.以下でこの定理を証明します.Rudin(1976)の証明を和訳し説明を加えています.

 証明.

(過去記事Definition6.2より)実数値の {displaystyle f_n } について証明すれば十分である.{displaystyle epsilon_n = sup_{ x in [ a,b ] } | f_n(x) - f(x) | } とおくと {displaystyle  | f_n(x) - f(x) | le epsilon_n , ;; - epsilon_n le f_n(x) - f(x) le epsilon_n } より
                   {displaystyle f_n(x) - epsilon_n le f le f_n(x) + epsilon_n }

である.これと {displaystyle f_n in mathscr{R}(alpha) } と,さらに {displaystyle alpha }{displaystyle [ a,b ] }上で単調増加関数であることから過去記事Definition6.2の上積分と下積分の定義(5),(6)が使えて以下を得る.

(25)          {displaystyle int_a^b (f_n - epsilon_n ) d alpha le underline{int} f  d alpha le overline{int} f  d alpha le int_a^b (f_n + epsilon_n ) d alpha }.

したがって

                {displaystyle 0 le overline{int} f  d alpha - underline{int} f  d alpha le int_a^b (f_n + epsilon_n ) d alpha - int_a^b (f_n - epsilon_n ) d alpha }
                {displaystyle = 2 epsilon_n int_a^b d alpha = 2 epsilon_n [ alpha(b) - alpha(a) ] }

を得る.{displaystyle f_n }{displaystyle f } に一様収束するので(過去記事Theorem7.9より) {displaystyle epsilon_n 	o 0 ;; mathrm{as} ;; n 	o infty } なので

                {displaystyle underline{int} f  d alpha = overline{int} f  d alpha }

となり {displaystyle f in mathscr{R}(alpha) } が示せた.またこの結果より(25)は

(25)          {displaystyle int_a^b (f_n - epsilon_n ) d alpha le int_a^b f  d alpha le int_a^b (f_n + epsilon_n ) d alpha }

となり,これより

                {displaystyle - int_a^b epsilon_n  d alpha le int_a^b f  d alpha - int_a^b f_n  d alpha le int_a^b epsilon_n  d alpha },

                {displaystyle left| int_a^b f  d alpha - int_a^b f_n  d alpha 
ight| le int_a^b epsilon_n  d alpha = epsilon_n [  alpha(b) - alpha(a) ]  }.

ここで再び {displaystyle epsilon_n 	o 0 ;; mathrm{as} ;; n 	o infty } を用いると(23)を得る.(証明終わり)

 

以上,一様収束する関数列はリーマン-スティルチェス積分と極限操作が交換可能であることについての定理と証明を紹介しました.なお,よく知られているように,連続関数の(関数列の)一様収束極限は連続関数であり,また連続関数はリーマン-スティルチェス可積分です.これらの事実を用いれば,{displaystyle f_n } が連続関数のときは定理の前半部分 {displaystyle f in mathscr{R}(alpha) } をただちに示せると思われます.


参考文献
[1] Rudin, W. (1976), Principles of Mathmatical Analysis (Third Edition), McGraw-Hill.